Description

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题

给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对

kAc这种傻×必然不会了，于是向你来请教……

多组输入

Input

第一行一个整数T 表述数据组数

接下来T行，每行两个正整数，表示N, M

Output

T行，每行一个整数表示第i组数据的结果

Sample Input

2

10 10

100 100

Sample Output

30

2791

HINT

T = 10000

N, M <= 10000000

题解

由之前的 ：

令 $F(d)$ 为 $d\mid gcd(i,j)$ 的数对 $(i,j)$ 个数， $f(d)$ 为 $d=gcd(i,j)$ 的数对 $(i,j)$ 个数。

由题 $$F(k)=\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{k}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{k} \right\rfloor\right\}}f(kd)$$

由莫比乌斯反演定理 $F(n)=\sum_{n\mid d} f(d)\Rightarrow f(n)=\sum_{n\mid d} \mu(\frac{d}{n})F(d)$

\begin{aligned}\Rightarrow f(k)&=\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{k}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{k}\right\rfloor\right\}}\mu(d)F(kd)\\&=\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{k} \right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{k}\right\rfloor\right\}}\mu(d)\cdot\left\lfloor\frac{a}{kd}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{b}{kd}\right\rfloor\end{aligned}

显然对于此题 \begin{aligned}ans&=\sum_{isprime(p)}^{min\{a,b\}}\sum_{d=1}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{p}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{p}\right\rfloor\right\}}\mu(d)\cdot\left\lfloor\frac{a}{pd}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{b}{pd}\right\rfloor\\&=\sum_{d=1}^{min\{a,b\}}\sum_{isprime(p)}^{min\left\{\left\lfloor\frac{a}{d}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{b}{d}\right\rfloor\right\}}\mu(d)\cdot\left\lfloor\frac{a}{pd}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{b}{pd}\right\rfloor\end{aligned}

我们试着枚举 $pd$ $$ans=\sum_{pd=1}^{min\{a,b\}}\left\lfloor\frac{a}{pd}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{b}{pd}\right\rfloor\cdot\sum_{isprime(p')\wedge p'\mid(pd)}\mu\left(\frac{pd}{p'}\right)$$

我们令 $F(pd)=\sum_{isprime(p')\wedge p'\mid(pd)}\mu\left(\frac{pd}{p'}\right)$  $$ans=\sum_{pd=1}^{min\{a,b\}}F(pd)\cdot\left\lfloor\frac{a}{pd}\right\rfloor\cdot\left\lfloor\frac{b}{pd}\right\rfloor$$

只要我们预处理出 $F$ 的前缀就可以用数论分块来做了。

预处理 $F$ 我们可以线性筛后枚举质数求（详见代码）。

1 //It is made by Awson on 2018.1.22 2 #include 
       
         3 #include 
        
       

当然我们也可以利用函数 $F$ 的积性。线性筛的过程就把 $F$ 筛出来。设枚举的数为 $i$ ，质数为 $p$ ：

1. $p\mid i$ ， $F(ip)=\mu(i)$ ；

2. $p\nmid i$ ， $F(ip)=\mu(i)-F(i)$ 。

1 //It is made by Awson on 2018.1.23 2 #include 
       
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